hipergeometria Graceli [ou hipermetria topológica transcendente].

com variáveis dinâmicas e deformativas. [SGFDT] SISTEMA GRACELI  DE FLUXOS DINÂMICAS E TRANSFORMAÇÕES.

VEJAMOS.

Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas sobre uma superfície.^[1][2][3] Dada uma superfície S, pode-se integrar sobre ela um campo escalar ou um campo vetorial. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.^[4] Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície.^[2] Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo, indicado por pela letra grega maiúscula Φ.^[3]

Definição

Seja ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle g=g(x,y,z)}$,[SGFDT] uma função definida em todos os pontos de uma superfície . A integral de superfície de  sobre  é definida por

$${\displaystyle \int \int _{S}gd\sigma }$$

 S   [] [SGFDT].

                                                 

                                 

          

 

onde, ${\displaystyle d\sigma }$ é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se ${\displaystyle S}$ é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial ${\displaystyle F}$ sobre ${\displaystyle S}$ por^[3]:

$${\displaystyle \int \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} d\sigma }$$

           F. n  [SGFDT].

 

onde, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície ${\displaystyle S}$ contribuirão no cálculo do fluxo.^[4]

Orientação

Assim como as curvas, também as superfícies precisam ser orientadas, a fim de que, ao adotar certa convenção, sempre se encontre o mesmo sinal para fluxo Φ. Diz-se que uma superfície de dois lados é orientável e que uma superfície de um único lado é não orientável. Assim, existe a necessidade de distinção dos lados de uma superfície orientável e convenção para orientação considerada positiva e negativa, pois ao inverter a orientação de S inverte-se o sinal de Φ.^[4]

Sendo assim:

O sinal de ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$ serve para orientar ${\displaystyle S}$.

Para o cálculo de ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$:
Suponha que a superfície ${\displaystyle S}$ seja dada como: ${\displaystyle z=g(x,y)}$ ou ${\displaystyle y=g(x,z)}$ ou ${\displaystyle x=g(y,z)}$.
Reescrevendo cada uma das equações na forma ${\displaystyle G(x,y,z)=0}$ é possível interpretar a última como a equação de uma superfície de nível de uma função ${\displaystyle w=G(x,y,z)}$.[SGFDT].
A partir do conceito que ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}G}$ [SGFDT]. é um vetor 3-D e representa um vetor normal à superfície de nível , [SGFDT].pode-se definir  da seguinte forma:

${\displaystyle {\overrightarrow {n}}={\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}}$ ou ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}=-{\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}}$[SGFDT].